Sunday, May 29, 2016

Komputasi Numeris: Analisis Regresi Sederhana Polinomial

Pendahuluan

Pada bagian sebelumnya, kita telah mempelajari analisis regresi non linear Power dan Eksponential. Kita juga telah tahu cara mudah mendapatkan persamaan regresi (kurva fitting) menggunakan software MS Excel. Saat ini kita akan membahas analisis regresi non linear Polinomial.

Yang perlu perhatikan saat anda memilih persamaan regresi yang tepat untuk data anda adalah kemiripan kurva fitting dengan data dan logika permasalahan. Sebagai contoh, saat anda memiliki data hubungan antara karyawan dengan lama waktu pengerjaan proyek, seperti pada bahasan sebelumnya, walaupun kurva fitting "terlihat" linear atau terlihat polinomial, kita TIDAK BISA memilih regresi linear atau polinomial untuk data tersebut.

Kenapa?

Karena persamaan linear tidak memiliki asimtot (garis linear yang didekati kurva lengkung pada titik tak terhingga). Artinya, kurva linear tidak memiliki kejenuhan seperti pada kurva eksponensial maupun logaritmik. Seperti ini contohnya:

Gambar 1: Kurva Fitting Linear

Seakan-akan kurva fitting yang mewakili data adalah kurva fitting linear dengan persamaan trendline y = -1.488x + 43.7 akan tetapi persamaan ini tidak boleh digunakan untuk mewakili hubungan antara jumlah karyawan dengan waktu proyek.

Mengapa?

Coba anda masukkan jumlah karyawan 35 orang. Waktu yang akan terhitung adalah -8.38. Tidak mungkin mengerjakan proyek dengan waktu -8 hari.

Tidak bisa juga menggunakan kurva fitting berbentuk polinomial derajat 2 seperti pada gambar 2 berikut:

 Gambar 2. Kurva Fitting Polinomial

Sama seperti kasus kurva fitting linear di atas, seakan-akan kurva fitting polinomial bisa mewakili data tetapi kurva fitting polinomial ini tidak bisa digunakan.

Mengapa?

Coba anda masukkan jumlah karyawan 50 orang. Waktu yang akan terhitung adalah 31.78 hari. Aneh? Ya. Karena dengan jumlah karyawan 15 saja, anda dapat mengerjakan proyek dalam 22 hari. Logikanya, dengan karyawan yang semakin banyak, proyek dapat dikerjakan lebih cepat. Bukan malah jadi 32 hari (semakin lambat). 

Anda tidak bisa menggunakan jawaban: Bisa saja. Siapa tahu karyawan yang semakin banyak justru pekerjaan menjadi lama. Alasan ini tidak bisa diterima karena alasan ini tidak berlaku saat saya menambah orang dari 3 orang menjadi 15 orang. Jangan gunakan standar ganda dalam berargumen.

Pesan moral yang dapat diambil adalah: Gunakan kurva fitting yang mewakili data dan yang tidak menyalahi logika permasalahan.

Be smart guys...

Dasar Teori
Masih terkait dari permasalahan logika di atas, sekarang kita akan membahas bagaimana membentuk kurva fitting polinomial. Pada pembentukan kurva fiting polinomial kita dihadapkan pada pilihan "akan menggunakan derajat berapa?". Pertanyaan ini, terkait logika permasalahan dan karakteristik derajat polinomial.




Gambar 3. Bermacam Grafik Polinomial dengan Varian Derajat

Dari sini kita harus cerdas memilih derajat polinomial yang sesuai dengan logika permasalahan.

Oke kita mulai.

Pada prinsipnya membuat persamaan regresi polinomial masing-masing derajat polinomial adalah sama. Yang membedakannya adalah ordo matriknya.

Persamaan polinomial secara umum ditulis sebagai berikut:


Dimana n nantinya saya sebut sebagai derajat.

Untuk mendapatkan nilai a0, a1, a2, a3, .. an kita menggunakan matriks sebagai berikut:


 Gambar 4. Formula Matriks Persamaan Polinomial Derajat n

Notes:

Ada kesalahan penulisan sigma pada gambar 4 tersebut. Hal ini supaya formulanya terlihat tidak terlalu "sangar". Ini yang seharusnya tertulis:
Implementasi:

Oke, setelah kita tahu formula-nya kita coba terapkan dalam kasus sebenarnya. Percayalah, implementasinya tidak se-sangar teorinya....

Kita gunakan kasus sebagai berikut:
Gambar 5. Contoh Kasus

Dimana n (jumlah data) adalah 18.

Polinomial Derajat 2

Rumus matrik (dari gambar 4) yang akan kita gunakan adalah:

Gambar 6. Formula Matriks Derajat 2

Kita kumpulkan dulu, kebutuhan angka-angka kita.


 Gambar 7. Penentuan Nilai variabel

Setelah kita peroleh nilai-nilai variabelnya, kita masukkan nilai-nilai tersebut pada matrik pada gambar 6.


Dengan penyelesaian matriks, diperoleh nilai a0 = -60, a1 = -1 dan a2 = 1, sehingga persamaan derajat 2 yang terbentuk adalah:
atau

Pembuktian:



Selamat mencoba untuk derajat 3 dan seterusnya..